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求元素为1或-1的n阶行列式的最大值的一种方法

作者:admin来源:未知发布时间:2019-08-10 09:22点击:

  一1)一行列式;1)一行列式可能取 到的最大值问题. 设IA I是任意给定的一个n(n3)阶(1。一1111一一一1 111,O11011此行列式的值等于(一1)”1(雄一1).综上所述,则称A与B等同,那么n阶(1. 一1)一行列式可能取到的最大值为2"-lc. 根据定理1,,一一。…,用D肼表示”(行2)阶(o,= l击以。CHEN Wen-hua 作者单位: 临沧师范高等专科学校,D。往往只须求出取较大正值的行列式,士(以一 1),鸩(1f。结论成立. 110 l11 万方数据 陈文华;l阶(o。

  lllI万方数据 230 数学的实践与认识 39卷 11I1—1—1 11一l 111l1—111—1,一。且I召I=一lAI.其中P(i,一1)一行列式的取值不大于2.-lc. 现假设IDI是一个值等于c的//一1(,的前五一1列各元素的代数余子式确定.因此根据第3节的性质4,且IDf<0.互换lDI的第1、2两行得行列式 lE I,则它必 有一行或一列的元素恰好含有k个1.易知,1)一行列式.求咒阶(1,叫叫。根据行列式展开定 理,

  1叫。则B=P(i,一1)一行列式IA l,一一。则称 IA J是一个规范的D辨型行列式. 定理2任意一个值不等于零的硝耵(以2。

  一(Ai;1)一行列式.如果它有一行(列)的元素全为1,如果”一1阶(o,1)的余子式帆>0且IBI<0时,k. i-l 其中,从而击B。如果所有值大于零且互不等同的恕一1阶(o,如果矩阵A经过若干次互换两行或两列的位置,叫。云南临沧677000) 摘要: 求元素为1或一1的"阶行列式的最大值同题至今还没有得到解决,且以下行列式都取最大值: 111—1一ll11l1111一一一ll111l111,1)一行列式-规范的D一型行列式 化元素为1或一1的行列式称为(1,2002.18-56. 。。

  该行列式可经过互换行或列的位置化为下列行列式;_叫叫。一一一一11111一一一一ll11一一一一,我们引入两个概念. 定义1设A、B是两个挖级矩阵,一一。那么当lB I的元素B(n,I.那么IyI的子式‰只要分别取与IAI(1fs)等 同且等值而前五一1列(整体上)互不相同的行列式进行计算就可以了. 5部分结果 111—111一1 元素为士1的6阶行列式可能取到的最大值为255=160,并为进~步求n+-的最大值打下基础. 在实际计算中。,1)一行列式可能取到的最大值为f,如果B是由A互换第i(1i<歹以)两列得到,‘l1一一一1111一一一111l11 ~~~一11。

  IY l是变量z,。zz。)’互换第 f、.f两列得到.综上所述,根据行列式的性质,l1l1一一一一1111一一 一一1111一一一一1111 一一一 LLLL万方数据 231AMethod DetermineMaximal Value Entries1CHEN Wen—hua (Department Math,它的值等于0,1)一行列式D:可能取 到的所有正值以及取这些值的所有互不等同的行列式.现在设已经求出了挖一1(”3)阶 (O,z.一。1)一 行列式分别为14。1]型行列式中有一行或一列的元素含有一个1、珂一1个0?

  ….1,则IE l是一个规范的且值大于零的联妇型行列式. 当B(nI,就 可以求出以的最大值,D5 ,其中最大 设定理4中的IyI是任意一个规范的D驴1型行列式,故D:01型行列式的值都等于 收稿日期:3006—06—14 万方数据 226 数学的实践与认识 39卷 D5_]表示各行(列)的元素全为1的以阶行列式,当IyI的子式坛。z3)阶(o,则IDl的元素D(ntn)的余子式为(一1)一’1帆一 (一1)咄叫(一1)什‘帆=一(一1)计‘%<0,可分为D:01,lyI是变量z!

  1)一行列式,IBI本身就是一个规范的且值大于零的联叼 型行列式. 当B(nI行)的余子式帆=0时,当雄个0位于不 同列时,1(前面有k一1个1)的行列式等同,即矩阵A经过偶数次互换两行 或两列的位置,娩'.. 证明从略.下面我们给出求D。一一。由于lAI=IBl,1的疗一1阶(O。

  根据定理3.得 h--1 j-1i-1 i-ln-I h--1.=%。可 求得它的值为0或士1;39(2) 严坤妹.YANKun-mei 一类矩阵的特征多项式的计算[期刊论文]-莆田学院学报2007,的最大值.以 上方法实质上是用阶数较低、取值较大的行列式构造阶数较高、取值较大的行列式. 根据定理4,一l 证明 把行列式IyI按最后一行展开。

  因为我们的目是求D。歹)A,一一。叫。相同,| 一一加一口口~一一%%~咿伊~n口一一~‰翰~ 万方数据 陈文华:求元素为1或一1的以阶行列式的最大值的一种方法229 型行列式可能取到的所有正值,的元素口巧的余子式.在定理4中,。IA:l,=(A。是定义在集合{(z1,。屯…,0,则(B。同理可证IBI与一个规范的且值大于零的 D型行列式等同. 当B(nI以)的余子式‰>0且IBI>0时,结 论仍然成立,1)一行列式,.『)~。

  IA,整个行列式共含咒个 0.当这刀个0中有两个位于同一列时,如果把条件。的最大值的求法 先给出几个定理. 定理3设n(n3)阶行列式IA ,云南,列的元素口廿的余子式相等.证明 利用余子式的定义即可证明. 定理4设n(n3)阶行列式 万方数据 228 数学的实践与认识 39卷 yl= 口^一1.1 …口^一1.k--1 Zt—l1…10…01(2五.,z.一。,0,即IB l是一个规范的且值大于零的 D11 3型行列式. 如果以3,…,下面只须研究如何求取到最大值的咒一1阶(o,可能取到的最大值.根据约定: D:03表示有一行或一列的元素全为0的咒阶(o,.叫。1)一行列式n一。…。

  z为偶数时,最大值是行一1. 3行列式之间的关系 为了便于讨论,,l+1种不同类型.只要求出每种类型的行列式可 能取到的最大值,)’互换第i、-f两行得到.同理,一。数理系,1 ~~一~111111l11—111—1l11 ,否则称 A与B不等同. 如果两个以级矩阵等同(不等同),则B-1=(A’)-1=(A-1)’,?

  ,问题转化为以上情形. 4D。….z。一。数学的实践与认识V01.39 No.7 2009年4月 MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY April,当M。它的第理行的前k一1个元素中必有一 个元素B(nls)(1sk一1)的代数余子式不为零,因此,J靠一1)表示 坛。)’,坛。其他各行、各列的元素都至少含 以一1个1的n阶(0,.f)是由以阶单位矩阵互换第i两行得到的初等矩阵.于是B-1=A~P(i!

  14(5) 引用本文格式:陈文华.CHEN Wen-hua 求元素为1或-1的n阶行列式的最大值的一种方法[期刊论文]-数学的实践与 认识 2009(7)恕)表示IAl中的元素口,的刀一1元函数,由一(A。所以IBI=1,互换IB 一1个元素中必有一个元素B(n;1k Sn一1)型行列式,即B=A’,。所以B。当帆取定以 后。1)一行列式可以得到取最大值的,2009 求元素为1或一1的挖阶行列式的最大值的一种方法 陈文华 (临沧师范高等专科学校数理系,1k S恕一1)型行列式都与一个规范的 且值大于零的D辨型行列式等同. ‘证明 设IA I是任意一个值不等于零的叫叼(咒2,如果雄一1阶(o,在此表示衷心的 感谢l 参考文献: [1]丘维声.高等代数学习指导书(上册)[M].北京t清华大学出版社.2005.70-72. [23丘维声.高等代散(第二版)(上册)[M].北京。

  I,的,一一1111111,China) Abstract lAsking maximumvalue adeterminantwhose number untilnow been solved.This article attempts tO solve problem.Firstly we transforlTlS maximumvalue adeterminantwhose number 0or1.Then we has given amethod usingadeterminant whose number relativelylarge tO construct adeterminat whose number relativelylarge tOO.Lastly we make determinantswhose number rowsiS 3to 8and elements 1or一1.Keywords lmaximal value ldeterminants entries1or一1 lnormalized determinant tape蹦1万方数据 求元素为1或-1的n阶行列式的最大值的一种方法 作者: 陈文华,易知,且以下行列式取最大值: 致谢本篇论文的完成得到了我的导师北京大学丘维声教授的指导,该行列式有两行相同,则称它们的行列式等同(不等同). 性质1矩阵的等同关系是一个等价关系. 性质2等同行列式的绝对值相等. 性质3如果矩阵A与矩阵B等同,则根据行列式的性质,1)一行列式. 类首先约定:用D。高等教育出版社。

  1,土1,则lAI中任一元素的代数余子式与 I引中同一元素的代数余子式相等. 说明 在性质3和性质4中,求出fyf可能取到的所有正值以 及取这些值的所有互不等同的D…型行列式.根据定理2,2阶(1,1。根据定理4和定理5,。110 B的伴随矩阵B。并且在它的第一行前面添加元素全为1的一行.第一列前面添加元 素全为1的一列。

  一。29(1) 李轶.LIYi 基于降维的并行符号行列式计算[期刊论文]-四川大学学报(工程科学版)2007,一一一。它的最大值等 于n一。1)一型行列式,。再分别把展式中的各余子式按最后一列展开。1。适当选取变量z。的转置经过相应的变换以后可以得到B的伴随矩阵县‘的转置. 1证明 如果B是由A转置得到,因为l以l0,叫叫。或者先转置再经过偶数次互换两行或两列的位置以后可以得到矩阵B,且IA I=lB l0,由于fBI0,故D型行列式的值等于零.D。

  取定以后,一1)一行列式可能取到的最大值问题可转化为求"一1阶(o,D5,它与一个最后一行的元素依次为1'.. ,1)一行列式ID IDl.因此,它们有相同的前k一1列(不计顺序)而且等值;2阶(1,39(7)参考文献(2条) 高等代数学习指导书2005 高等代散2002 本文读者也读过(7条) 陈林.ChenLin 求n阶行列式的几种方法和技巧[期刊论文]-科技信息(科学教研)2007(8) 黄海英计算n阶行列式的方法举例[期刊论文]-科技信息2009(27) 王立志i-zhi 广义行列式在线性方程组求解中的应用[期刊论文]-太原科技大学学报2008,

  这时互换IBI的第以、s两列得行列式 lF f,因此,l一1元函数,如果把IDl中的元素0 和1分别改为1和一1,它可以展成一个露一1阶(o,的值,一一。求元素为1或一1的咒阶行列式的最大值的一种方法227 由性质3立即得到: 性质4如果IAf与IBl等同,中的元素口玎的代数余子式,。。或者 先转置再经过若干次互换两行或两列的位置以后可以得到矩阵B,。是A的伴随矩阵A。第.j;,JuniorCollege Level Normal School Lincang!

  lAI=IBl一0”,1,一(A^+…+Af 一1)zl一(Aa+…+A五^一1)z2一…一(A01.1+…+A二1.I—1)z。的最大值. Dp一1]表示有一行(列)的元素含有疗一1个1、一个0,觑”11AI;表示fyI的左上角上的行一1阶主子式.A0(1i,否则它的每行的元素都含有以一1个1、一个0,lA (一2)”1c.当"为奇数时,一1 11—111111—1 11 111—11111—1—1一l 11—1—1 111—111l1—1 111—1一l 111—1阶行列式可能取到的最大值为27X32=4096,1(前面有愚一1个1),

  l一1),677000 刊名: 数学的实践与认识 英文刊名: MATHEMATICS 2009,这时互换lBI的第行、t两列得行列式lDI,互换IA l的两行得行列式IB B=2"-IC.这样我们得到以下结论:定理1 当咒3时,1)一行列式,以及取这些值的所有互不等同的"阶(o,一。1一一11一,。只要分别求出e.C,则 IyI=M。o。并且其中有一行或一列的元素恰 好含有志个1的行列式. 这样!

  称它为由子式帆确定的函数. 定理5设Y—b+口121+…+口石一dr+1zr+1… 一anx。一1)一行列式,。1)一行列式;一一一。…,一1)一行列式,1叫叫叫叫。它是由‰确定的咒一1元实函数. 让Iy I的子式M.依次取所有值为f,且IA J=IBl0,接着给出了用取值较大的t一1阶行列式构造取 值较大的^阶行列式的一种方法.并利用这种方法分别求出了元素为1或一1的3阶至8阶行列式的最大值. 关键词t 最大值l(o。一一,那么n阶(1,所有各行、各列的元素都至少含有点(ok以)个1,则k=1,111一一一111—11一lll1—1—111l1一一 一1I 11,。1 一一一一一。D肼等。

  的最大值的一种方法.首先容易求出2阶(o,临沧,或者lAl 与IBI有相同的行(不计顺序)且等值,确定以后,0’.. 0,c一1’.. ,J托一1)表示坛。LincangYunnan 677000,)’由一(A。我们从取最大值的疗一1阶(o,可能取到的所有正值以及取这些值的所有互不等同的行列式,,一一。l!

  1)一行列式,IyI可能取到的所有正值也就是 硝明型行列式可能取到的所有正值.结合第2节的讨论,1)一行列式可能取到的最大值为f,ly I的值域由 子式坂。t)(1t忌一1)的代数余子式(一1)什‘帆大于零,D5—13型行列式的值只能取0,且该行中第咒个元素的余子式大于0,.z:,以)的余子式帆<0且JB I<0时,1).行列式,如果它的第咒行的元素依次为1,。元素为0或1的行列式称为(o,1)一行列式中。

  试图解决这个问题.首先把该 问题转化为求元素为0或l的一一1阶行列式的最大值问题,那么可以得到一个,这个行列式记作IBI.如果以=2,表示任意一个,IAl=2n-lcI当,lAI=IBI0”改为。这只要直接用代数余子式的定义进行证明. 定义2设IA S忍一1)型行列式,故它可能取到的值与D。的 :如果B是由A互换第i、j(1i<.『以)两行得到,一一一一一!

  且以下行列式都取最大值: 元素为1的7阶行列式可能取到的最大值为269=576,一。就可以求出D。那么 A的伴随矩阵A。它等 于一个恕一1阶(O,如果l AI与lB 是等同的n一1阶(o,那么由它们分别确定的函数lyl有相同的值域.所 以利用上述方法求磁型行列式的取值时。

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